Bài viết Dùng phương pháp chi tiết để viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng, giúp học sinh ôn tập và hiểu cách làm bài tập viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng.

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

A. Phương pháp giải

Cho 2 đường thẳng cắt nhau: (d1) A1x + b1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0.

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:

Chú ý:

Cho đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 và hai điểm A(xA; yA); B(xB;yB ).

Đặt f(x;y) = Ax + By + C:

+ A và B nằm về cùng một phía đối với ∆ ⇔ f(xA; yA). f(xB; yB) > 0

+ A và B nằm khác phía đối với ∆ ⇔ f(xA; yA). f(xB; yB) < 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0 và d’: 2x + y + 3 = 0. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

A. x + y = 0 và x – y + 4 = 0 . B. x – y + 4 = 0 và x + y – 2 = 0 .

C. x + y + 2 = 0 và x – y = 0 D. x + y + 1 = 0 và x – y – 3 = 0 .

Hướng dẫn giải

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

Vậy phương trình các đường phân giác tạo bởi d và d’ là :

x – y = 0 và x + y + 2 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng ∆1: x + 2y – 3 = 0 và ∆2: 2x – y + 3 = 0.

A. x + 3y – 2 = 0 và x = 3y. B. 3x = – y và x – 3y – 6 = 0.

C. 3x + y = 0 và -x + 3y – 6 = 0. D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi M(x; y) là điểm thuộc đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng đã cho.

⇒ d(M,Δ1) = d(M,Δ2) ⇒

⇒ x + 2y – 3 = ± (2x – y + 3) ⇒

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB: 2x – y + 4 = 0; AC: x – 2y – 6 = 0 và hai điểm B; C thuộc Ox. Phương trình phân giác ngoài của góc BAC là

A. 3x – 3y – 2 = 0 B. x + y + 10 = 0 C. 3x + 3y + 2 = 0 D. x + y – 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Do hai điểm B và C thuộc Ox nên tọa độ hai điểm đó là : B(-2; 0) và C(6; 0).

Gọi M( x; y) thuộc đường phân giác của góc BAC

Ta có: d(M, AB) = d(M, AC) ⇔ ⇔ |2x – y + 4| = |x – 2y – 6|

⇔

+ Xét vị trí của hai điểm B và C đối với đường thẳng x + y + 10 = 0.

Ta có : (-2 + 0 + 10).( 6 + 0 + 10) > 0 nên hai điểm B và C nằm cùng phía so với đường thẳng x + y + 10 = 0.

Suy ra đường thẳng x + y + 10 = 0 là đường phân giác ngoài của góc BAC.

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2) , B( 1; 2) và C(3; 6 ) . Phương trình đường phân giác trong của góc A là:

A. 2x + y – 2 = 0 B. x – 2y + 4 = 0 C. 2x + y – 4 = 0 D. Đáp án khác

Lời giải

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB :

⇒ ( AB) : 0(x – 0) + 1(y – 2) = 0 hay y – 2 = 0

Đường thẳng AC :

⇒ ( AC) : 4(x – 0) – 3(y – 2) = 0 hay 4x – 3y + 6 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là:

⇔ |4x – 3y + 6| = 5|y – 2|

Đặt f( x; y) = x – 2y + 4

⇒ f( B).f( C) =( 1 – 2.2 + 4) ( 3 – 2.6 + 4) = -5 < 0

⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng : x – 2y + 4 = 0.

suy ra đường phân giác trong góc A là x – 2y + 4 = 0

Chọn B.

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1; 5) ; B( -4; -5) và C( 4; -1) . Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là:

A. y + 5 = 0 B. y – 5 = 0 C. x + 1 = 0 D. x – 1 = 0

Lời giải

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB :

⇒ ( AB) : 2( x – 1) – 1.( y – 5) = 0 hay 2x – y + 3 = 0

Đường thẳng AC :

⇒ ( AC) : 2( x – 1) + 1( y – 5) = 0 hay 2x + y – 7 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là:

⇔ |2x – y + 3| = |2x + y – 7|

⇔

Đặt f( x; y) = y – 5

⇒ f(B).f(C) = ( -5 – 5).( -1 – 5) = 60 > 0

⇒ B và C nằm cùng phía so với đường thẳng : y – 5 = 0.

suy ra đường phân giác ngoài góc A là y – 5 = 0

Chọn B.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x – 4y – 3 = 0 và d2 : 12x + 5y – 12 = 0. Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là:

A. 3x + 11y – 3 = 0 B. 11x – 3y – 11 = 0 C. 3x – 11y – 3 =0 D. 11x + 3y – 11 = 0

Lời giải

Các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là:

⇔ 13|3x – 4y – 3| = 5|12x + 5y – 12| .

Gọi I là giao điểm của d1 và d2; tọa độ I là nghiệm hệ

⇒ I( 1;0)

+ Gọi đường thẳng d: 3x + 11y – 3 = 0. Lấy điểm M(-10; 3) thuộc đường thẳng d.

Gọi H là hình chiếu của M lên d1.

Ta có: IM = và

MH = d(M,d1 ) = = 9

Suy ra

Suy ra d: 3x + 11y – 3 = 0 là đường phân giác góc tù nên đường phân giác góc nhọn là 11x – 3y – 11 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 7. Cho đường thẳng d: 3x + 4y – 5 = 0 và 2 điểm A( 1; 3) ; B( 2; m) . Tìm m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m < 0 B. m > -5/4 C. m > 1 D. m = -4/3

Hướng dẫn giải

Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d khi và chỉ khi:

( 3 + 12 – 5)( 6 + 4m – 5) < 0 hay m > -5/4

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: x + y – 1 = 0; AC: 7x – y + 2 = 0 và BC: 10x + y – 19 = 0. Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC.

A. 12x + 4y – 3 = 0 B. 2x + 6y + 7 = 0 C. 12x + 6y – 7 = 0 D. 2x – 6y +7 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

+ AB và BC giao nhau tại B nên tọa độ của B là nghiệm hệ :

⇒ B( 2; -1)

+ AC và BC cắt nhau tại C nên tọa độ C là nghiệm hệ:

⇒ C(1; 9)

+ Phương trình các đường phân giác góc A là:

Đặt f1( x; y) = 2x – 6y + 7 ta có f1(B) . f1( C) < 0

Suy ra B và C nằm khác phía so với d1 và cùng phía so với d2.

Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là: 2x – 6y + 7 = 0

Câu 2: Cho tam giác ABC có A(-2; -1); B(-1; 3) và C(4; -1). Viết phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.

A. x – y + 1 = 0 B. 5x + 3y + 9 = 0 C. 3x + 3y – 5 = 0 D. x + y + 3 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

+ Phương trình đường thẳng AB:

⇒ Phương trình AB: 4( x + 2) – 1( y – 1) = 0 hay 4x – y + 7 = 0

+ Phương trình đường thẳng AC:

⇒ Phương trình AC: 1( x + 2) – 4( y – 1) = 0 hay x – 4y – 2 = 0

+ Phương trình các đường phân giác góc A là:

⇔ |4x – y + 7| = |1x – 4y – 2|

⇔

Đặt f1( x; y) = x + y + 3 ta có: f1(B).f1(C) > 0

Suy ra B và C nằm cùng phía so với d1 và khác phía so với d2.

Vậy phương trình đường phân giác ngoài góc A là: x + y + 3 = 0.

Câu 3: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi đường thẳng ∆: x + y = 0 và trục hoành Ox.

A. (1 + √2)x + y = 0 ; x – (1 – √2)y = 0 . B. (1 + √2)x + y = 0; x + (1 – √2)y = 0 .

C. (1 + √2)x – y = 0; x + (1 – √2)y = 0 . D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: D

Gọi M(x; y) là điểm thuộc đường phân giác

Theo đầu bài ta có: d( M; ∆) = d( M; Ox)

⇒ ⇔ |x + y| = √2|y|

⇔

Câu 4: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng ∆1: x + 2y – 3 = 0 và ∆2: 2x – y + 3 = 0 .

A. 3x + y = 0 và x – 3y = 0 . B. 3x + y = 0 và x + 3y – 6 = 0.

C. 3x + y = 0 và -x + 3y – 6 = 0. D. 3x + y + 6 = 0 và x – 3y – 6 = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

Gọi M(x; y) là điểm thuộc đường phân giác

⇒ d(M; ∆1) = d(M; ∆2) ⇒

⇒ x + 2y – 3 = ±(2x – y + 3) ⇒

Câu 5: Cho hai đường thẳng d : x + 2y + 3 = 0 và d’ : 2x + y + 3 = 0. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là

A. x + y = 0 ; x – y + 2 = 0 B. x – y = 0 ; x + y + 2 = 0

C. x + y + 2 = 0 ; x – y = 0 D. x + y – 2 = 0 ; x – y – 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có: M(x ; y) thuộc đường phân giác khi và chỉ khi :

d(M; d) = d(M; d’) ⇔

⇔ |x + 2y + 3| = |2x + y + 3| ⇔

Câu 6: Cho tam giác ABC có A(1; -2); B(-1; 2) và C(5; -3). Viết phương trình đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC?

A. 5x + 3y + 1 = 0 B. 3x + 2y + 1 = 0 C. x + y + 1 = 0 D. 5x + 2y – 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

+Ta có: AB =

AC =

⇒ AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

⇒ Đường phân giác trong xuất phát từ A đồng thời là đường trung tuyến.

+ Gọi M là trung điểm BC; tọa độ M :

+ Đường thẳng AM:

⇒ Phương trình AM: 5( x – 1) + 3( y + 2) = 0 hay 5x + 3y + 1 = 0

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1) ; B( -1;3) và C( 4; -1) . Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là:

A. y + 5 = 0 B. x + 2y = 0 C. x + 1 = 0 D. 2x – y – 5 = 0

Lời giải

Đáp án: B

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB :

⇒ ( AB) : 4(x – 2) + 3( y + 1) = 0 hay 4x + 3y – 5 = 0

Đường thẳng AC :

⇒ ( AC) : 0(x – 2) + 1( y + 1) = 0 hay y + 1 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là:

⇔ |4x + 3y – 5| = 5|y + 1|

⇔

Đặt f( x; y) = 2x – y – 5

⇒ f(B).f(C) = ( – 2 – 3 – 5).( 2.4 + 1 – 5) = -40 < 0

⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng : 2x – y – 5 = 0

suy ra đường phân giác ngoài góc A là x + 2y = 0

Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1; 5) ; B( -4; -5) và C( 4; -1) . Phương trình đường phân giác trong của góc BAC là:

A. 3x – 3y – 2 = 0 B. x + y + 10 = 0 C. 3x + 3y + 2 = 0 D. x + y – 2 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Do hai điểm B và C thuộc Ox nên tọa độ hai điểm đó là : B(-4; 0) và C(4; 0).

Phương trình đường phân giác trong của góc BAC nghĩa là tìm phương trình của đường thẳng đi qua B và C.

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ Phương trình BC: 0( x + 4) + 1( y – 0) = 0 hay y = 0

Suy ra các đường phân giác góc BAC là:

x + y + 2 = 0

Chọn C.

Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 0; 2) ; B( 1; 2) và C(3; 6). Viết phương trình đường phân giác ngoài góc BAC của tam giác ABC.

A. 3x – 3y – 2 = 0 B. x + y + 10 = 0 C. 3x + 3y + 2 = 0 D. x + y – 2 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB :

⇒ ( AB) : 0(x – 0) + 1(y – 2) = 0 hay y – 2 = 0

Đường thẳng AC :

⇒ ( AC) : 4(x – 0) – 3(y – 2) = 0 hay 4x – 3y + 6 = 0

Suy ra các đường phân giác góc BAC là:

⇔ |4x – 3y + 6| = 5|y – 2|

Đặt f( x; y) = 2x – y + 4

⇒ f( B).f( C) =( 1 – 2.2 + 4) ( 3 – 2.6 + 4) = -5 < 0

⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng : x – 2y + 4 = 0.

suy ra đường phân giác ngoài góc BAC là x – 2y + 4 = 0

Chọn C.

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x – 4y – 3 = 0 và d2 : 12x + 5y – 12 = 0. Viết phương trình đường phân giác trong góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2.

A. 3x + 11y – 3 = 0 B. 11x – 3y -11 = 0 C. 3x – 11y – 3 =0 D. 11x + 3y – 11 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Gọi M(x; y) là điểm thuộc đường phân giác

⇒ d(M; d1) = d(M; d2) ⇒

⇒ 3x – 4y – 3 = ± (12x + 5y – 12) ⇒

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: x + y – 1 = 0; AC: 7x – y + 2 = 0 và BC: 10x + y – 19 = 0. Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC.

A. 12x + 4y – 3 = 0 B. 2x + 6y + 7 = 0 C. 12x + 6y – 7 = 0 D. 2x – 6y +7 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

+ AB và BC giao nhau tại B nên tọa độ của B là nghiệm hệ :

2 + m – 1 = 0 và

10 + m – 19 = 0 –>

m = -7

M absolutevalue is right of zero, B nằm cùng po m so với đ_horizontal-axée_0 –> [ra_000 _là_tâm_o_ng_ng của g_trong_000] –> [anothervaluer] –> f AB tiếp_xúc BC(đôi_một khác_chỗ so với BC).

Vậy 2y + x – 6 = 0

Câu 2: Cho tam giác ABC có A(1; -2); B(-1; 2) và C(4; -1). Viết phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.

A. x – y + 1 = 0 B. 5x + 3y + 9 = 0 C. 3x + 3y – 5 = 0 D. x + y + 3 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Do BC và AB giao nhau tai B(- 1; 2); và AB = BC ( tam_giac_ABC _dôi_một ) > đo đó góc BAC tại _đỉnh_A là góc_rỗng –> đường_phân_giác trong góc_A là đường_biên của tam_giac_ABC nên_có _phươn_trình:

x – y + 1 = 0.