Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu hai cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn. Chúng ta sẽ giải các bài tập về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách sử dụng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế, đồng thời tìm hiểu về các dạng toán liên quan đến phương trình bậc nhất hai ẩn. Điều này giúp chúng ta nhìn thấy ưu điểm của từng phương pháp và áp dụng linh hoạt trong từng bài toán cụ thể.
» Đừng bỏ lỡ: Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dễ hiểu
I. Tóm tắt lý thuyết về phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
– Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)
– Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c
- Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số :
- Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
- Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
– Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: , trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R
– Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
– Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:
- (d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
- (d) cắt (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất
- (d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm
– Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số
a) Quy tắc cộng đại số
– Quy tắc cộng đại số được sử dụng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương theo hai bước:
– Bước 1: Cộng hay trừ hai vế của từng phương trình trong hệ phương trình ban đầu để thu được một phương trình mới.
– Bước 2: Sử dụng phương trình mới đó để thay thế cho một trong hai phương trình ban đầu trong hệ (và giữ nguyên phương trình còn lại).
b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
– Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình trong hệ với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc có đại số trái nhau.
– Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để thu được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình có hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
– Bước 3: Giải phương trình một ẩn thu được và suy ra nghiệm của hệ ban đầu.
Ví dụ: Giải các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau bằng phương pháp cộng đại số:
a)
b)
* Lời giải:
a) (lấy PT(1) + PT(2))
b) (lấy PT(1) – PT(2))
2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế
a) Quy tắc thế
– Quy tắc thế được sử dụng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:
– Bước 1: Từ một phương trình trong hệ (được gọi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn dựa trên ẩn khác rồi thay vào phương trình thứ hai để thu được một phương trình mới (chỉ chứa một ẩn).
– Bước 2: Sử dụng phương trình mới đó để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất thường cũng được thay thế bằng hệ thức biểu diễn một ẩn dựa trên ẩn khác thu được ở bước 1).
b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
– Bước 1: Sử dụng quy tắc thế để biến đổi phương trình ban đầu thành một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình với một ẩn.
– Bước 2: Giải phương trình một ẩn thu được và suy ra nghiệm của hệ ban đầu.
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a)
b)
* Lời giải:
a)
b)
III. Một số dạng toán phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
* Phương pháp: xem phần tóm tắt lý thuyết
Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a) b)
c)
* Giải bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2:
a)
⇒ Kết luận: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (10;7)
b)
⇒ Kết luận: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (11/19;-6/19)
c)
⇒ Kết luận: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (25/19;-21/19)
* Nhận xét: Qua bài 12 này, chúng ta thấy phương pháp thế sẽ sử dụng thuận tiện hơn khi một trong phương trình của hệ có các hệ số của x hoặc y là 1 hoặc -1. Khi đó, chỉ cần rút x hoặc y từ phương trình có hệ số là 1 hoặc -1 này và thay vào phương trình còn lại để giải hệ.
– Đối với các hệ phương trình mà không có hệ số nào của x và y là 1 hoặc -1, việc sử dụng phương pháp thế có thể dẫn đến việc phát sinh các phân số và gây khó khăn trong quá trình tính toán, như bài 13 dưới đây.
Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a) b)
* Giải bài Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2:
a)
⇒ Kết luận: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (7;5)
b)
⇒ Kết luận: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (3;3/2)
Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
* Phương pháp: xem phần tóm tắt lý thuyết
Bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
a) b)
c) d)
e)
* Lời giải bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2:
a)
Lưu ý: Lấy PT(1)+PT(2)
⇒ Kết luận: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2;-3)
b)
Lưu ý: Lấy PT(1)-PT(2)
⇒ Kết luận: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2;-3)
c) (Nhân 2 vế PT(2) với 2 để hệ số của x ở 2 PT bằng nhau)
(lấy PT(1) – PT(2))
⇒ Kết luận: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2;-3)
d) (Nhân 2 vế PT(1) với 3, 2 vế PT(2) với 2)
(Lấy PT(1)-PT(2))
⇒ Kết luận: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (-1;0)
e) (Nhân 2 vế PT(1) với 5)
(Lấy PT(1)-PT(2))
⇒ Kết luận: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (5;3)
* Nhận xét: Khi không có bất kỳ hệ số nào của x và y là 1 hay -1, phương pháp cộng đại số giúp tránh nhầm lẫn trong quá trình tính toán.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
* Phương pháp:
– Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có ý nghĩa
– Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ
– Bước 3: Giải hệ phương trình theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số)
– Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau
a) b)
* Lời giải:
a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số khác 0).
Đặt: ta có hệ ban đầu trở thành:
– trở lại ẩn ban đầu x và y ta có:
⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất (1;1)
b) Điều kiện: x ≠ -1 và y ≠ 3 (mẫu số khác 0)
Đặt: ta có hệ ban đầu trở thành:
Trở lại ẩn ban đầu x và y ta có:
⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất (-5/4;6)
Dạng 4: Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
* Phương pháp:
– Tọa độ giao điểm chính là nghiệm của hệ được tạo bởi hai phương trình đường thẳng đã cho.
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau:
a) d1: 2x – y = 3 và d2: x + y = 3
b) d1: 2x + y = 5 và d2: x – 3y = 6
* Lời giải:
a) Tọa độ điểm I là giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ:
– Giải hệ theo một trong hai phương pháp cộng đại số hoặc thế:
⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (2;1).
b) Tọa độ điểm I là giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ:
⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (4;-2).
Dạng 5: Giải và biện luận hệ phương trình
* Phương pháp:
+ Từ một phương trình trong hệ, suy ra giá trị một ẩn dựa trên ẩn khác rồi thế vào phương trình còn lại để thu được phương trình dạng ax + b = 0, sau đó áp dụng các bước biện luận sau:
– Nếu a ≠ 0, thì x = -b/a; thay vào biểu thức để tìm giá trị của y; hệ có nghiệm duy nhất.
– Nếu a = 0, ta có, 0.x = b:
_ Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
_ Nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm
Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình sau:
* Lời giải
– Từ PT(1) ta có: y = mx – 2m, thế vào PT(2) ta được:
x – m(mx-2m) = m + 1
⇔ x – m2x + 2m2 = m + 1
⇔ (1 – m2)x = -2m2 + m + 1
⇔ (1 – m)(1 + m)x = 1 – m2 + m – m2
⇔ (1 – m)(1 + m)x = (1 – m)(1+m)+ m(1 – m)
⇔ (1 – m)(1 + m)x = (1 – m)(1+m)+ m(1 – m)
⇔ (1 – m)(1 + m)x = (1 – m)(1+2m) (3)
* Nếu m ≠ ±1, ta có:
khi đó:
⇒ Hệ có nghiệm duy nhất:
* Nếu m = -1, thay vào (3) ta được: 0.x = -2 ⇒ hệ vô nghiệm
* Nếu m = 1, thay vào (3) ta được: 0.x = 0 ⇒ hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)
- Kết luận:
– Nếu m = -1, hệ vô nghiệm
– Nếu m = 1, hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)
– Nếu m ≠ ±1, hệ có nghiệp duy nhất:
Dạng 6: Xác định tham số m để hệ phương trình thoả mãn điều kiện về nghiệm số
* Phương pháp:
– Giải hệ phương trình để tìm x, y theo m
– Áp dụng điều kiện về nghiệm số của đề bài để tìm m
Ví dụ: Cho hệ phương trình:
tìm giá trị a ∈ Z, để hệ có nghiệm (x;y) với x,y ∈ Z
* Lời giải:
– Từ PT(2) ta có: x = a2 + 4a – ay, thế vào PT(1) được
(a+1)(a2 + 4a – ay) – ay = 5
⇔ a(a+2)y = a3 + 5a2 + 4a – 5 (*)
– Nếu a = 0 hoặc a = -2 thì (*) vô nghiệm
– Nếu a ≠ 0 và a ≠ -2 thì:
⇒
– Trước hết tìm a ∈ Z để x ∈ Z
– Để x ∈ Z thì a + 2 ∈ Ư(1) ⇒ a + 2 = ±1 ⇒ a = -3 hoặc a = -1
Với a = -3 ⇒
Với a = -1 ⇒ y = 5
⇒ Vậy với a = -1 hệ có nghiệm nguyên là (2;5)