Trước khi tìm hiểu về hàm số đơn điệu, chúng ta cần nhắc lại về mối quan hệ giữa biến số và hàm số: Nếu khi biến số x thay đổi thì giá trị của hàm số y cũng thay đổi theo, ta gọi đó là hàm số phụ thuộc vào biến. Ngược lại, nếu giá trị của biến x thay đổi mà giá trị của hàm số y không thay đổi, ta gọi đó là hàm hằng. Trong bài học về hàm số đơn điệu, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về hàm số phụ thuộc vào biến.
1. Khái niệm về hàm số đơn điệu
Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đơn điệu trên khoảng (a; b) nếu y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và liên tục tăng hoặc liên tục giảm. Khi đó:
– Hàm số y = f(x) có liên tục tăng trên khoảng (a; b) được gọi là hàm số đồng biến.
– Hàm số y = f(x) có liên tục giảm trên khoảng (a; b) được gọi là hàm số nghịch biến.
Ví dụ: Xét hai hàm số f(x) = 2x + 3 và g(x) = sin(2x) + cos(2x) trên khoảng (0; 2).
Ta có bảng giá trị như sau:
Dựa vào giá trị của hàm số f(x) và g(x) tại x = 0, x = 1, x = 2 ta thấy hàm số f(x) liên tục tăng và hàm số g(x) có giá trị không đổi.
Vậy f(x) là hàm số đồng biến và g(x) là hàm hằng.
∗ Định nghĩa:
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
– Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu:
∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 : f(x1) < f(x2)
– Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên K nếu:
∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 : f(x1) > f(x2)
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
∗ Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Khi đó:
– Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K.
– Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K.
∗ Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng K.
– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng K.
– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng K.
∗ Định lí:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
– Hàm số y = f(x) đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm của t.
– Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm của t.
3. Các dạng hàm số đơn điệu thường gặp
3.1. Đơn điệu của hàm đa thức bậc ba trên R
Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d có y’ = 3ax^2 + 2bx + c, ∀ x ∈ R
∗ Loại 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên
– TH1: Hàm số suy biến a = b = 0; c > 0
– TH2: Ta có y’ ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ ⇔
∗ Loại 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số nghịch biến trên
– TH1: Hàm số suy biến a = b = 0; c < 0
– TH2: Ta có y’ ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ ⇔
3.2. Đơn điệu của hàm đa thức bậc ba trên khoảng
∗ Đối với dạng này, tùy vào từng loại hàm số bậc ba mà ta triển khai một trong hai cách làm sau đây:
1. Nếu y’ = 0 có nghiệm “ đẹp” ( do delta chính phương ): Ta lập bảng xét dấu của y’, xét khoảng thỏa mãn
2. Nếu y’ = 0 có nghiệm “ xấu” : ta sử dụng phương pháp cô lập tham số m
∗ Bước 1: Tính ; hoặc ;
∗ Bước 2 :Từ bất phương trình cô lập tham số m, đưa về dạng:
• ; ⇔ (lớn hơn số lớn nhất)
• ; ⇔ (bé hơn số bé nhất )
3.3. Đơn điệu của hàm phân thức bậc nhất trên mỗi khoảng xác định
Cho hàm số phân thức
Tập xác định của hàm số trên có dạng
Ta có:
– Đồng biến trên mỗi khoảng xác định miền D khi y’ > 0 ⇔ ad – bc > 0
– Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định miền D khi y’ < 0 ⇔ ad – bc < 0
3.4. Đơn điệu của hàm phân thức bậc nhất trên mỗi khoảng cho trước
Cho hàm số phân thức:
Tập xác định của hàm số trên có dạng
Ta có:
∗ Đồng biến trên khoảng K khi thỏa hai điều kiện sau:
∗ Nghịch biến trên khoảng K khi thỏa hai điều kiện sau:
4. Bài tập tính đơn điệu của hàm số
Bài 1: Cho hàm số ( là tham số). Điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng là:
ĐÁP ÁN
Hàm số đồng biến trên khoảng .
Bài 2: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên m không vượt quá 11 để hàm số đồng biến trên khoảng
ĐÁP ÁN
– KIẾM TRA NGHIỆM ĐẸP/ XẤU
không ở dạng chính phương
– PHÂN TÍCH YÊU CẦU BÀI TOÁN
Để hàm số đồng biến trên khoảng
Suy ra
– CÔ LẬP m
Tiến hành cô lập m dựa trên bất phương trình
Ta thu được
– BIỆN LUẬN m
Đặt . Để
Vậy các giá trị m nguyên là {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
ĐÁP ÁN
Tập xác định . Ta có
Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định
Bài 4: Cho hàm số . Số giá trị m nguyên thuộc đoạn để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
ĐÁP ÁN
– KIẾM TRA NGHIỆM ĐẸP/ XẤU
có dạng chính phương
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
,
– PHÂN TÍCH YÊU CẦU BÀI TOÁN
Để hàm số đồng biến trên khoảng
Suy ra
– LẬP BẢNG XÉT DẤU
Ta có bảng xét dấu sau:
– XÉT KHOẢNG THỎA MÃN
Ta xét bảng xét dấu nhận thấy:
Hàm số đồng biến trên khoảng và
Để hàm số đồng biến trên khoảng suy ra
Nghĩa là . Vậy có 10 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 5: Cho hàm số . Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực để hàm số đã cho đồng biến trên
ĐÁP ÁN
Tập xác định: .
Ta có: .
Hàm số đồng biến trên khi chỉ khi
.
Giá trị lớn nhất là 3.
Như vậy, sau khi phân biệt được hàm số có phải là hàm số đơn điệu hay không ta có thể sử dụng các tính chất của hàm số đơn điệu vào vận dụng giải các bài toán thực tế, bài toán giải phương trình. Tóm lại, hàm số đơn điệu trên khoảng K là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng K đó, nội dung này sẽ được mô tả một cách chi tiết hơn trong bài học sau.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang