Trong lớp 6, chúng ta được học về số thập phân. Đến lớp 7, chúng ta học về 2 dạng của số thập phân, trong đó có số thập phân vô hạn tuần hoàn. Vậy số thập phân vô hạn tuần hoàn là gì? Làm thế nào để giải các bài tập liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn? Hãy cùng tìm hiểu bài viết dưới đây để tìm câu trả lời cho những thắc mắc đó.
I. Số thập phân vô hạn tuần hoàn là gì?
– Khái niệm: Một phân số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn nếu phân số đó là phân số tối giản, với mẫu số dương mà mẫu số có ước nguyên tố khác 2 và 5.
– Ví dụ: = 0,(09); = 0,(01); …
Ở đây, các số 0,(09); 0,(01); … được gọi là các số thập phân vô hạn tuần hoàn.
*Lưu ý: Mỗi số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn và ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn có thể biểu diễn dưới dạng số hữu tỉ.
II. Các dạng bài tập liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn
1. Nhận biết một phân số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
*Phương pháp giải: Để nhận biết xem một phân số có thể được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn hay không, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Biểu diễn phân số dưới dạng phân số tối giản với mẫu số dương.
- Bước 2: Phân tích mẫu số thành các thừa số nguyên tố.
- Bước 3: Nếu mẫu số của phân số có ước nguyên tố khác 2 và 5, tức là phân số đó có thể được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
*Ví dụ: Trong các phân số sau, phân số nào có thể được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn:
Giải:
– Ta thấy các phân số đã được viết dưới dạng phân số tối giản.
– Ta phân tích các mẫu số của các phân số đó thành các thừa số nguyên tố: 4 = 22; 11=11; 3 = 3; 20 = 22. 5
– Ta thấy các mẫu số 11 và 3 có ước nguyên tố khác 2 và 5 nên các phân số đó có thể được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
2. Viết một phân số hoặc tỉ số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
*Phương pháp giải: Để viết một phân số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta thực hiện phép chia a cho b.
*Ví dụ: Chuyển đổi các phân số sau thành số thập phân vô hạn tuần hoàn:
Giải:
Ta có: 2 : 11 = 0,181818181818 …
1 : 3 = 0,3333333333333 …
2 : 15 = 0,1333333333333 …
Do đó, ta có: = 0,(18), = 0,(3), = 0,1(3).
3. Biến đổi một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số tối giản
*Phương pháp giải:
Để biến đổi một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số, ta tách số thập phân vô hạn tuần hoàn thành tổng của phần nguyên cộng với phần thập phân viết thành phân số tối giản. Kết quả cần tìm là tổng đó.
Để viết phần thập phân thành phân số tối giản, ta thực hiện các bước sau:
Đối với phần thập phân chỉ có chu kì, ta lấy chu kì làm tử số, còn mẫu số là các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì.
Đối với phần thập phân mà ngoài chu kì còn có các số khác đứng trước chu kì, ta lấy số tạo bởi phần thập phân trừ đi số tạo bởi các chữ số đứng trước chu kì làm tử số, mẫu số là số gồm các chữ số 9 và các chữ số 0 kèm theo, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của số đứng trước chu kì.
*Ví dụ: Cho các số thập phân sau: 0,(12); 3,(2); 8,1(04); 2,12(01). Hãy biến đổi các số đó thành phân số tối giản.
Giải:
Ta có:
0,(12) = 0 + =
3,(2) = 3 + 0,(2) = 3 + =
8,1(04) = 8 + 0,1(04) = 8 +
2,12(01) = 2 + 0,12(01) = 2 +
4. Bài toán thực hiện các phép tính về số thập phân vô hạn tuần hoàn.
*Phương pháp giải: Ta viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số và thực hiện các phép tính với các phân số đó.
*Ví dụ: Tính: 0,(12) + 1,1(01)
Giải:
0,(12) + 1,1(01) =
5. Tìm x. Tính giá trị biểu thức liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn.
*Phương pháp giải: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số, thực hiện các phép tính với các phân số đã cho để tìm giá trị của x hoặc tính giá trị của biểu thức.
*Ví dụ: Tìm x, biết: x + 0,(12) = 7,(1)
Giải:
x + 0,(12) = 7,(1)
x +
x =
III. Một số bài tập vận dụng về số thập phân vô hạn tuần hoàn
1. Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1: Kết quả của phép tính: 1,(01) + 5,(2) – 6,1(02) là:
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Chọn đáp án: A.
Câu 2: Trong các phân số sau, phân số nào được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Chọn đáp án: C.
Câu 3: Phân số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn là:
A. 1,1(81)
B. 1,(18)
C. 1,(81)
D. 1,18(18)
ĐÁP ÁN
Chọn đáp án: B. 1,(18)
2. Bài tập tự luận
Bài 1: Trong các phân số sau, phân số nào có thể được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?
Viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
ĐÁP ÁN
Ta có: 25 = 52; 9 = 32; 20 = 22.5; 11 = 11.
Ta thấy các mẫu số 9 và 11 có ước nguyên tố khác 2 và 5, nên các phân số đó có thể được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Bài 2: Hãy biến đổi các số thập phân sau thành phân số tối giản:
a. 0,1(22)
b. 3,(23)
c. 9,99(01)
ĐÁP ÁN
a. 0,1(22) =
b. 3,(23) = 3 + 0,(23) = 3 +
c. 9,99(01) = 9 + 0,99(01) = 9 +
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau (nếu có thể tính nhanh):
a. A = x + 7,9(1) – 4,01(23), với x = 3,1(12)
b. B = 2,(13).x + 1,(12).y, với x = 0,1(09) và y = 2,(21)
ĐÁP ÁN
a. Với x = 3,1(12) ta có:
A = x + 7,9(1) – 4,01(23)
= 3,1(12) + 7,9(1) – 4,01(23)
= 3 + 0,1(12) + 7 + 0,9(1) – 4 – 0,01(23)
= (3 + 7 – 4) +
= 6 +
= 6 +
=
b. Với x = 0,1(09) và y = 2,(21) ta có:
B = 2,(13).x + 1,(12).y
= 2,(13).0,1(09) + 1,(12).2,(21)
Trên đây là tổng hợp các kiến thức về số thập phân vô hạn tuần hoàn và một số bài tập vận dụng, kèm theo lời giải chi tiết, dễ hiểu. Bài viết này hy vọng giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về số thập phân vô hạn tuần hoàn và áp dụng kiến thức đó vào việc giải các bài tập một cách chính xác nhất.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang