Là một thành viên, bạn sẽ có quyền truy cập không giới hạn đến hơn 83.000 bài giảng về toán học, tiếng Anh, khoa học, lịch sử và nhiều lĩnh vực khác. Ngoài ra, bạn cũng sẽ nhận được các bài kiểm tra, bài tập và hỗ trợ cá nhân để giúp bạn thành công.
Đang xem: Khái niệm đường tiếp tuyến là gì, ý nghĩa của từ “tangent line” trong tiếng Việt
Đang xem: Khái niệm đường tiếp tuyến là gì
Truy cập không giới hạn vào hơn 83.000 bài học.
Thử ngay 0:04 Đường tiếp tuyến là gì? 0:55 Định nghĩa toán học 2:32 Phương trình của đường tiếp tuyến 3:39 Một ví dụ 4:29 Tóm tắt bài học
Có muốn xem lại sau này?
Đăng nhập hoặc đăng ký để thêm bài học này vào chương trình học tùy chỉnh của bạn.
Đăng nhập hoặc Đăng ký
Giảng viên: Jasmine Cetrone
Jasmine đã giảng dạy Toán học và Khí tượng học tại trường Đại học và có bằng Thạc sĩ về Toán ứng dụng và Khoa học khí quyển.
Xem thêm: To Take Up One”S Time Up Là Gì @@? Câu Time’S Up Nghĩa Là Gì @@
Trong bài học này, chúng ta sẽ khám phá ý tưởng và định nghĩa của đường tiếp tuyến thông qua một cách trực quan và toán học. Sau khi học cách tính đường tiếp tuyến của một đường cong, bạn sẽ thực hiện một bài kiểm tra ngắn để kiểm tra kiến thức của mình.
Đường tiếp tuyến là gì?
Giả sử chúng ta đang ở trên một tàu lượn…ở không gian! Chúng ta bị giữ chặt vào đường ray bởi các bánh xe của xe, nhưng nếu xe bất ngờ mất liên lạc với đường ray, chúng ta sẽ bay đi theo một đường thẳng vì thiếu trọng lực. Tất nhiên, rất tốt nếu chúng ta được giải cứu khỏi không gian, vậy đường mà người cứu hộ sẽ làm theo để tìm chúng ta là đường tiếp tuyến, giống như đường bạn đang xem ở đây:
Một đường tiếp tuyến là một đường thẳng chỉ chạm nhẹ vào một điểm trên đường cong. Ý tưởng là đường tiếp tuyến và đường cong đều đi theo cùng một hướng tại điểm tiếp xúc. Nếu chúng ta có một đường cong rất uốn lượn, đường tiếp tuyến và đường cong không có nhiều điểm chung vì đường tiếp tuyến hoàn toàn thẳng. Tuy nhiên, khi chúng ta phóng to hình ảnh tới gần điểm mà đường tiếp tuyến chạm vào đường cong, chúng ta có thể thấy rằng họ có nhiều điểm chung hơn chúng ta nghĩ, và chúng nhìn khá giống nhau!
Định nghĩa toán học
Bây giờ khi chúng ta đã có ý tưởng về đường tiếp tuyến, chúng ta cần hiểu cách định nghĩa toán học của nó. Có hai yếu tố quan trọng để tìm phương trình xác định một đường tiếp tuyến: độ dốc và điểm tiếp xúc với đường cong. Độ dốc của một đường là độ dốc của đường, tức là tỷ lệ thay đổi ngang và thay đổi dọc khi nó di chuyển khỏi gốc tọa độ.
Để tìm độ dốc của đường tiếp tuyến, chúng ta thực sự xem trước tiên đường tiếp tuyến của một phương trình, hoặc một đường nối hai điểm trên một đường cong. Để tìm phương trình của một đường, chúng ta cần độ dốc của đường đó. Với đường tiếp tuyến, điều này có thể hơi rắc rối, nhưng với đường nối, vì chúng ta có hai điểm, không có gì khó khăn!
Độ dốc của đường nối này, đi qua các điểm (a, f(a)) và (a + h, f(a + h)) được thể hiện trong công thức dưới đây. Bạn có thể nhận ra công thức này từ môn toán giả định; nó được gọi là tỷ lệ chênh lệch:
độ dốc của đường nối = Δy / Δx
Vậy làm sao điều này giúp chúng ta với đường tiếp tuyến? Đó, hãy tưởng tượng rằng chúng ta lấy điểm thứ hai đó (a + h, f(a + h)) và dịch nó gần đến điểm đầu tiên của chúng ta. Càng gần điểm đầu tiên, đường nối càng trở nên giống như đường tiếp tuyến! Chúng ta đưa nó càng gần và càng gần…điều này là ý tưởng toán học của giới hạn. Khi h tiến dần về 0, điều này biến đường nối của chúng ta thành đường tiếp tuyến, và bây giờ chúng ta có một công thức cho độ dốc của đường tiếp tuyến! Đó là giới hạn của tỷ lệ chênh lệch khi h tiến đến 0.
Giả sử bạn đã quen thuộc với những kiến thức cơ bản về phép tính, bạn sẽ nhận ra đây là định nghĩa của đạo hàm của hàm f(x) tại x = a, được ký hiệu bằng dấu chạy f'(a). Đạo hàm của một hàm là tốc độ biến thiên tức thời của hàm và là độ dốc của đường tiếp tuyến đến đường cong.
Phương trình của đường tiếp tuyến
Bây giờ rằng chúng ta có độ dốc của đường tiếp tuyến, tất cả những gì chúng ta cần là một điểm trên đường tiếp tuyến để hoàn thiện phương trình của đường chúng ta. Điều đó dễ dàng, vì chúng ta biết rằng đường tiếp tuyến đi qua điểm (a, f(a)). Hãy bây giờ xây dựng phương trình của đường bằng cách sử dụng dạng phương trình độ dốc-dịch chuyển của một đường thẳng:
y – y1 = m(x – x1), trong đó (x1, y1) là một điểm đã biết trên đường, và m là độ dốc của đường
Công thức này áp dụng cho hầu hết các điểm trên đường cong y = f(x):
y – f(a) = f”(a)(x – a) y = f(a) + f”(a)(x – a)
Có một số ngoại lệ:
Trong trường hợp đặc biệt khi đường tiếp tuyến là đứng, độ dốc của nó sẽ không xác định và chúng ta sẽ không thể sử dụng phương trình trước đó. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng phương trình của một đường thẳng đứng đi qua điểm (a, f(a)), tức là phương trình x = a.
Nếu hàm không liên tục tại x = a (như trong bất kỳ lỗ, rạn hay hiện tượng nhảy trên đồ thị), hàm không có đường tiếp tuyến tại điểm đó, hoặc cuối cùng nếu hàm có gọn hay cạnh sắc tại x = a, hàm không có đường tiếp tuyến tại điểm đó. Đường tiếp tuyến chỉ tồn tại ở những nơi đường cong của hàm mượt mà.
Ví dụ
Hãy tìm phương trình của đường thẳng tiếp tuyến với đường cong của hàm f(x) = x^2 khi x = 1. Chúng ta đã có giá trị x của điểm (x = 1), nhưng để xác định giá trị y tương ứng, hãy thay x = 1: f(1) = (1)^2 = 1. Vì vậy, chúng ta biết điểm là (1,1).
Tiếp theo, hãy tìm độ dốc của đường thẳng, tức là phép đạo hàm tại x = 1:
f”(x) = 2x và f”(1) = 2
Vậy phương trình của đường thẳng của chúng ta là:
y = f(1) + f”(1)(x – 1), tức là y = 1 + 2(x – 1), rút gọn thêm là y = 2x – 1
Biểu đồ của y = x^2 và y = 2x – 1 xác nhận một cách trực quan rằng chúng ta đã tính toán đường tiếp tuyến đúng, và chúng ta đã hoàn thành!
Tóm tắt bài học
Hãy mất một vài phút để xem xét lại đường tiếp tuyến là gì và phương trình của nó là gì. Đường tiếp tuyến là một đường thẳng chỉ chạm nhẹ vào một điểm trên đường cong. Ý tưởng là đường tiếp tuyến và đường cong đều đi theo cùng một hướng chính xác tại điểm tiếp xúc. Độ dốc, hay độ dốc của đường tiếp tuyến, được xác định bằng tỷ lệ biến thiên tức thì của hàm tại điểm đó. Độ dốc của đường được tìm bằng cách tạo ra một hàm đạo hàm dựa trên đường nối tiếp giáp với đường tiếp tuyến. Đường nối tiếp tuyến là một đường thẳng nối hai điểm trên đường cong.
Với các đường cong liền mạch, liên tục với độ dốc không đứng, chúng ta có thể tính toán đường tiếp tuyến bằng công thức:
y = f(a) + f ”(a)(x – a)
Nếu đường cong có đường tiếp tuyến đứng, phương trình sẽ được rút gọn thành x = a, và nếu đường cong bị gãy hoặc có góc nhọn tại x = a, đường cong sẽ không có đường tiếp tuyến tại điểm đó.
