1. Phương pháp thay đổi biến số là gì?
Phương pháp thay đổi biến số là một trong những phương pháp rất phổ biến được sử dụng khi giải bài toán tích phân vì khi áp dụng phương pháp này, việc giải quyết bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn.
Một số công thức nguyên hàm được sử dụng khi thay đổi biến số:
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = (3x + 2)^{3}$
Giải:
Ví dụ 2: Tính tích phân sau $I=int_{1}^{0}x(1-x)^{19}dx$
Giải:
2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp thay đổi biến số và ví dụ
Để tìm nguyên hàm thông thường, chúng ta thường sử dụng hai phương pháp thay đổi biến số sau: phương pháp thay đổi biến số loại 1 và phương pháp thay đổi biến số loại 2.
2.1. Phương pháp thay đổi biến số loại 1
Để giải nguyên hàm bằng phương pháp thay đổi biến số loại 1, ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Đặt ẩn phụ $t = u(x)$
-
Bước 2: Tính vi phân $dt = u'(x)dx$
-
Bước 3: Biểu diễn $f(x)$ và $dx$ theo $t$ và $dt$. Giả sử $f(x)dx = g(t)dt$
-
Nếu hàm số:
$int(x)$ có chứa $sqrt[n]{g(x)}$ đặt $t=sqrt[n]{g(x)} Leftrightarrow t^n=g(x) Rightarrow n.t^{n-1}dt=g'(x)dx$
-
Nếu hàm số:
$int(x)$ có chứa $(ax+b)^n$ đặt $t=ax+b Rightarrow dt=adx$ hoặc $x=frac{t-b}{a}$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm sau:
a) $intfrac{x^3}{1+x^2}dx$
b) $int x^3 sqrt{x^2+9}dx$
Giải:
2.2. Phương pháp thay đổi biến số loại 2
Để giải nguyên hàm bằng phương pháp thay đổi biến số loại 2, ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Đặt ẩn phụ $x = u(t)$
-
Bước 2: Tìm vi phân $dx = u'(t)dt$
-
Bước 3: Biểu diễn hàm số $f(x)$ và $d(x)$ theo $t$ và $dt$
Giả sử $f(x)dx = g(t)dt$
-
Bước 4: Tính $I = int g(t)dt$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm:
a) $int xe^{x^2}dx$
b) $int frac{e^{tanx}}{cos^2x}dx$
Giải:
3. Tính tích phân bằng phương pháp thay đổi biến số
3.1. Phương pháp thay đổi biến số dạng 1
Để giải tích phân bằng phương pháp thay đổi biến số dạng 1, ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Đặt $t = u(x)$ thay đổi giới hạn ta có:
-
$x = a Rightarrow t = u(a) = a’$
-
Hoặc $x = b Rightarrow t = u(b) = b’$
-
Bước 2: Tìm vi phân $dt = u'(x)dx$
-
Bước 3: Biến đổi $f(x)dx$ thành $g(t)dt$
-
Bước 4: Tích phân $int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a’}^{b’}g(t)dt$
Ví dụ: Tính tích phân sau đây:
a) $int_{frac{pi}{2}}^{0}sin^{2}x cos^{3}xdx$
b) $int_{e frac{pi}{2}}^{0}frac{cos(ln x)}{x}dx$
Giải:
3.2. Phương pháp thay đổi biến số dạng 2
Để giải tích phân bằng phương pháp thay đổi biến số dạng 2, ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Đặt $x = u(t)$ thay đổi giới hạn ta có:
$x = a Rightarrow t = a’$ hoặc $x = b Rightarrow t = b’$
-
Bước 2: Tìm vi phân hai vế $dx = u'(t)dt$
-
Bước 3: Biến đổi $f(x)dx = f(u)(t)).u'(t)dt = g(t)dx$
-
Bước 4: Tính tích phân theo công thức $int_{a}^{b}f(x)dx = int_{a’}^{b’}g(t)dt$
Ví dụ: Tính tích phân: $I = int_{2}^{1}x^{2}sqrt{4-x^{2}}dx$
Giải:
4. Các bài tập về phương pháp thay đổi biến số giải nguyên hàm, tích phân
Để nắm vững kiến thức, các bạn có thể tham khảo những bài tập về phương pháp thay đổi biến số giải nguyên hàm, tích phân dưới đây:
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: $intfrac{2sinx}{1+3cosx}dx$
Giải:
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau $intfrac{(lnx)^2-1}{xlnx}dx$
Giải:
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: $int xe^{x^2}dx$
Giải:
Ví dụ 4: Tính nguyên hàm $intfrac{e^{tanx}}{cos^{2}x}dx$
Giải:
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm $intfrac{x}{(2x+1)^{3}}$
Giải:
Ví dụ 6: Tính tích phân $I=int_{0}^{1}frac{1}{1+x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 7: Tính tích phân $I=int_{0}^{1}sqrt{1-x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 8: Tính tích phân của $I=int_{0}^{1}x^{5}(1-x^{3})^{6}dx$
Giải:
Ví dụ 9: Tính tích phân $I=int_{-1}^{0}x^{2}(1-x)^{9}dx$
Giải:
Ví dụ 10: Tính tích phân $I=int_{0}^{1}(1+3x)(1+2x+3x^{2})^{10}dx$
Giải:
Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm phù hợp và đạt hiệu quả cao nhất
Trên đây là toàn bộ kiến thức về tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp thay đổi biến số và các dạng bài tập thường gặp. Hy vọng rằng qua bài viết trên, các bạn đã hiểu và tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Để học thêm nhiều kiến thức về toán học lớp 12, hãy truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé!
>> XEM THÊM:
- Các dạng tích phân hàm ẩn cơ bản và bài tập áp dụng
- Tích Phân Từng Phần: Phương Pháp Tính, Ví Dụ Và Bài Tập Ví Dụ